Question

数列满足，．

（Ⅰ）求、、；

（Ⅱ）求的表达式；

（Ⅲ）令，求．

Answer

（Ⅰ）、、；

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由递推公式即可求出、、；（Ⅱ）方法一：猜想出通项公式，然后用数学归纳法证明；方法二：由递推公式可以构造等比数列，借助等比数列可以求出通项公式；方法二：由递推公式可以构造等差数列，借助等差数列可以求出通项公式；.

（Ⅰ）由递推公式：、、；                                3分

（Ⅱ）方法一：猜想：，下面用数学归纳法证明：      

① ，猜想成立；

② 假设时，，

则，即时猜想成立，

综合①②，由数学归纳法原理知：．                     8分

方法二：由得，

所以：．                             8分

方法三：由得：，两式作差得：，

于是是首项，公差为的等差数列，那么，

且是首项，公差为的等差数列，那么，

综上可知：．                                    8分

（Ⅲ）

                   10分

．                      12分.

考点：归纳推理、数学归纳法、数列求和.