Question

已知分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，已知是椭圆上不同于顶点的两点，直线与交于点，直线与交于点．① 求证：；② 若弦过椭圆的右焦点，求直线的方程．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）①见解析；②.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为，列出方程组即可求出和；（Ⅱ）①欲证：，只需证：，找到这个结论成立的条件，然后证明这些条件满足即可；②分成和直线斜率存在两种情况，利用经过这一条件，把问题变成直线与椭圆的交点，从而可以借助一元二次方程跟与系数的关系解题.

试题解析：（Ⅰ）由题，，由点在椭圆上知，则有：

，①

又，                    ②

以上两式可解得，．所以椭圆．                       4分

（Ⅱ）① 设，则直线：、直线：，

两式联立消去得：；

同理：直线：、：，联立得：．  6分

欲证：，只需证：，只需证：，

等价于：，

而，，所以，

故有：．                                        9分

② (1)当时，由可求得：；                     10分

(2)当直线斜率存在时，设：，

由（Ⅱ）知：，

将，代入上式得：，

解得，由①知．

综合(1) (1)，，故直线：．                      14分.

考点：直线与椭圆的方程.