如图，已知矩形
中，
为
的中点，沿
将三角形
折起，使
.
（Ⅰ）求证：平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
已知数列
满足
（
为常数），
成等差数列.
（Ⅰ）求p的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
，证明：
.
某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：
|
答对题目个数 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
人数 |
5 |
10 |
20 |
15 |
根据上表信息解答以下问题：
（Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；
（Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.
如图，已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，离心率为
，点A是椭圆上任一点，
的周长为
.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点
任作一动直线l交椭圆C于
两点，记
，若在线段
上取一点R，使得
，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程.
设函数
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）若
，且
在区间
内存在极值，求整数
的值.
某高校组织的自主招生考试，共有1000名同学参加笔试，成绩均介于60分到100分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分为4组：第1组[60,70），第2组[70,80），第3组[80,90），第4组[90,100].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格.
（Ⅰ）估计所有参加笔试的1000名同学中，有面试资格的人数；
（Ⅱ）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格，且甲的笔试比乙的高；面试时，要求每人回答两个问题，假设甲、乙两人对每一个问题答对的概率均为
；若甲答对题的个数不少于乙，则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.
