Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (t为参数，0<a<)，曲线C的极坐标方程为．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．

Answer

（I） ；（II） 4.

【解析】

试题分析：（I）利用,易得曲线C的直角坐标方程;（II）直线过点，根据直线的参数方程中的几何意义，知道，将直线的参数方程与抛物线方程联立，利用韦达定理转化为关于a的函数式，求最值即可.

试题解析：（I）由，得，所以曲线C的直角坐标方程为;

（II）将直线l的参数方程代入，得，设两点对应的参数分别为，则， ，当时，的最小值为.

考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的转化 2、直线的参数方程及应用 3、直线与圆锥曲线相交问题的综合应用 4、函数最值.