Question

如图，已知长方形中，,为的中点. 将沿折起，使得平面平面.

（I）求证： ；

（II）若点是线段的中点，求二面角的余弦值.

Answer

（I）详见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（I）要证明，只需要建立适当坐标系，证明即可；（II）向量法求二面角的平面角首先分别求两个半平面的法向量，而平面的法向量是显而以见的，所以只需求出平面的法向量，利用法向量求得二面角的余弦值.

试题解析：（I）：因为平面平面，是的中点，，取的中点，连结，则平面，取的中点，连结，则，以为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得

，，，，则，所以,故；

 （II）依题意得，因为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，而,，则，且，，取，得，，，所以二面角的余弦值为.

考点：1、空间向量垂直的坐标运算公式 ; 2、向量法求二面角.