Question

已知为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的动点，且的最大值为1，最小值为-2.

（I）求椭圆的方程；

（II）过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于两点，为椭圆的左顶点。试判断的大小是否为定值，并说明理由.

Answer

（I）   （II）定值.

【解析】

试题分析：（I）M是椭圆上的点， 可以转化为关于的二次函数，利用二次函数求最值，可求得椭圆方程中的参数和；（II）利用直线与圆锥曲线相交的一般方法，将直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理，求,继而判定是否为定值.

试题解析：（I）,设，则，因为点在椭圆上，则，，又因为，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，从而求得，故椭圆的方程为;

（II）设直线的方程为,

联立方程组可得，化简得：,

设，则，又, ，由得,

所以,所以，所以为定值.

考点： 1、待定系数法求椭圆方程;  2、二次函数求最值 ; 3、直线与圆锥曲线相交的综合应用.