Question

已知函数

（I）若函数上是减函数，求实数的最小值；

（2）若，使（）成立，求实数的取值范围.

Answer

（I）  ；（II）.

【解析】

试题分析：（I）函数在上是减函数，即导函数在恒大于等于，转化为函数的最值问题，求得的最小值。（II）存在性问题，仍转化为函数的最值问题，即的最小值小于等于导函数的最大值加。的最大值易求，的最值问题利用导数法求最值的方法即可.

试题解析：（I）因在上为减函数，故在上恒成立,

所以当时，,又,

设,则，故当时，即时，,解得，所以的最小值为．    

（II）命题“若使成立”，等价于“当时，有”,   由（I）知，当时，，,  问题等价于：“当时，有”，

当时，, 在上为减函数，则，故．  

当时，,由于在上为增函数，故的值域为，即,由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；由=，，所以，，与矛盾，不合题意．

综上所述，得．

考点： 1、利用导数判断函数单调性的逆用;2、利用导数求函数最值的综合应用.