Question

等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图1）．将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、 （如图2）．

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）存在，且.

【解析】

试题分析：（1）这是一个证明题，先用利用余弦定理在求出的长度，结合勾股定理证明，从而在折叠后对应地有，然后利用平面平面，结合平面与平面垂直的性质定理证明平面；（2）方法1是利用（1）中的提示条件说明平面，

然后再过点作，便可以得到平面，从而为直线与平面所成的角，进而围绕的长度进行计算；方法2是利用空间向量法，先假设点的坐标，利用（1）中的提示条件说明平面，将视为平面的一个法向量，然后利用确定点的坐标，进而计算的长度.

试题解析：证明：（1）因为等边△的边长为3，且，

所以，．

在△中，，

由余弦定理得．

因为，所以．

折叠后有．                                2分

因为二面角是直二面角，所以平面平面．           3分

又平面平面，平面，，

所以平面．                               4分

（2）解法1：假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为．

如图，作于点，连结、．      5分

由（1）有平面，而平面，

所以．                   6分

又，

所以平面．                               7分

所以是直线与平面所成的角．                     8分

设，则，．                   9分

在△中，，所以．                  10分

在△中，，．                     11分

由，

得．                            12分

解得，满足，符合题意．                       13分

所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．   14分

解法2：由（1）的证明，可知，平面．

以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图．                       5分

设，

则，，．         6分

所以，，．    7分

所以．                             8分

因为平面，

所以平面的一个法向量为．                    9分

因为直线与平面所成的角为，

所以                               10分

，                       11分

解得．                                    12分

即，满足，符合题意．                     13分

所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．   14分

考点：直线与平面垂直、余弦定理、直线与平面所成的角、空间向量