Question

经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为．点、在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点、．

（1）求轨迹的方程；

（2）证明：；

（3）若点到直线的距离等于，且△的面积为20，求直线的方程．

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）方法1是利用直接法，设动点坐标为，根据题中条件列式并化简进而求出动点的轨迹方程；方法2是将问题转化为圆心到定点的距离等于点到定直线的距离，利用抛物线的定义写出轨迹的方程；（2）由于轴，利用直线与直线的斜率互为相反数证明；（3）方法1是先将的方程与抛物线的方程联立求出点的坐标，并根据一些几何性质求出、，并将的面积用点的坐标表示以便于求出点的坐标，结合点的坐标求出直线的方程；方法2是利用（2）中的条件与结论，利用直线确定点和点坐标之间的关系，借助弦长公式求出、，并将的面积用点的坐标表示以便于求出点的坐标，结合点的坐标求出直线的方程.

试题解析：（1）方法1：设动圆圆心为，依题意得，．        1分

整理，得．所以轨迹的方程为．                   2分

方法2：设动圆圆心为，依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等，

根据抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线．                    1分

且其中定点为焦点，定直线为准线．

所以动圆圆心的轨迹的方程为．    2分

（2）由（1）得，即，则．

设点，由导数的几何意义知，直线的斜率为

．          3分

由题意知点．设点，，

则，

即．                  4分

因为，．           5分

由于，即．         6分

所以．                               7分

（3）方法1：由点到的距离等于，可知．            8分

不妨设点在上方（如图），即，直线的方程为：．

由

解得点的坐标为．                       10分

所以．

由（2）知，同理可得．            11分

所以△的面积，

解得．                                   12分

当时，点的坐标为，，

直线的方程为，即．                13分

当时，点的坐标为，，

直线的方程为，即．               14分

方法2：由点到的距离等于，可知．             8分

由（2）知，所以，即．

由（2）知，．

所以．

即．        ①

由（2）知．           ②

不妨设点在上方（如图），即，由①、②解得          10分

因为，

同理．                               11分

以下同方法1．

考点：直接法求轨迹方程，抛物线的定义，函数图象的切线方程的求解，斜率公式、弦长公式