Question

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．

分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线，的斜率之和为定值．

Answer

(1) ;(2)详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据条件“右焦点为，离心率为”得到含有的两个方程，进而求解椭圆方程；（2）通过直线和直线与椭圆连接方程组，得到四点坐标，统一变量，减少字母，然后利用斜率公式证明直线，的斜率之和为定值. 在第（2）问的运算上要注意先化简再代入．本题的几何背景是：在如图所示的圆中，因为，且，所以．

试题解析：（1）【解析】
由题意，得，，故，

从而，

所以椭圆的方程为．                     ①                                  5分

（2）证明：设直线的方程为，    ②

直线的方程为，  ③                                   7分

由①②得，点，的横坐标为，

由①③得，点，的横坐标为，                     9分

记，，，，

则直线，的斜率之和为

                                13分

．                                                           16分

考点：1.椭圆的标准方程;2.直线的斜率;3.直线与椭圆的位置关系．