Question

已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比

数列．

（1）若，，求数列的前项和；

（2）若存在正整数，使得．试比较与的大小，并说明理由．

Answer

(1) ;(2) 当时，；当时，；当时，．

【解析】

试题分析：(1)利用基本量思想求解两个数列的通项公式，然后才有错位相减法求解数列的前项和；（2）利用等量关系关系，减少公差d，进而将与进行表示，然后才有作差比较进行分析，注意分类讨论思想的应用.

试题解析：（1）依题意，，

故，

所以，                                        3分

令，                   ①

  则，          ②

①②得，，

，

所以．                                           7分

（2）因为，

所以，即，

故，

又，                                                          9分

所以

                                                                            11分

（ⅰ）当时，由知

，                                                   13分

（ⅱ）当时，由知

，

综上所述，当时，；当时，；当时，．       16分

（注：仅给出“时，；时，”得2分．）

方法二：（注意到数列的函数特征，运用函数性质求解）

(易知)，

令，有，，

令，则．记．

若，则在上，函数在上为单调增函数，则，

这与相矛盾；

若，则在上，函数在上为单调减函数，则，

这与相矛盾；

所以，．

故在上，函数在上为单调减函数，

在上，函数在上为单调增函数．

因为，所以，当时，，当时，，

所以，当时，，即，

当时，，即，

综上所述，当时，；当时，；当时，．

考点：1.等差和等比数列的通项公式；2.数列求和；3.大小比较.