Question

如图已知：菱形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，，点分别是线段的中点.

（1）求证：平面平面;

（2）点在直线上，且//平面，求平面与平面所成角的余弦值。

Answer

(1)证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先证，由面面垂直的性质定理得到平面，所以，由勾股定理证，所以由线面垂直的判定定理得平面，所以面面垂直的判定定理得平面平面；（2）首先建立空间直角坐标系，再写出各点坐标，由共面向量定理，得，所以求出，得出点的坐标是:，由（1）得平面的法向量是，根据条件得平面的法向量是，所以.

试题解析：（1）证明：在菱形中，因为，所以是等边三角形，

又是线段的中点，所以，

因为平面平面，所以平面，所以；  2分

在直角梯形中，，，得到：，

从而，所以，        4分

所以平面，又平面，所以平面平面；   6分

（2）由（1）平面，如图，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，

   7分

设点的坐标是，则共面，

所以存在实数使得：

，

得到:.即点的坐标是:,    8分

由（1）知道：平面的法向量是，

设平面的法向量是，

则：，         9分

令，则，即，

所以，                  11分

即平面与平面所成角的余弦值是.             12分

考点：1.面面垂直的判定定理；2.线面平行的判定定理；3.面面垂直的判定定理；4.向量法.