Question

如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形的内接矩形.

（Ⅰ）当时，求的长；

（Ⅱ）求矩形面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）  （Ⅱ） 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由图形的对称性作出辅助线，用三角函数求出相关线段长度；（Ⅱ）设∠EOC＝θ，与（Ⅰ）类似用三角函数表示出相关线段长度和矩形ABCD的面积，继而求关于θ的三角函数的最大值.

试题解析：如图，记的中点为E，连结OE，OC，交BC于F，交AD于G，则∠DOG＝60°．

设∠EOC＝θ（0°＜θ＜60°）．

（Ⅰ）当＝时，θ＝30°．

在Rt△COF中，OF＝OCcos30°＝，CF＝OCsin30°＝1．

在Rt△DOG中，DG＝CF＝1，OG＝＝．

所以CD＝GF＝OF－OG＝．

（Ⅱ）与（Ⅰ）同理，

BC＝2CF＝4sinθ，CD＝OF－OG＝2cosθ－＝2cosθ－sinθ．

则矩形ABCD的面积

S＝BC·CD＝4sinθ(2cosθ－sinθ)＝4sin2θ－ (1－cos2θ)＝sin(2θ＋30°)－．

因为30°＜2θ＋30°＜150°，故当2θ＋30°＝90°，

即θ＝30°时，S取最大值．

考点：1、三角函数恒等变形；2、三角函数的计算和应用.