Question

已知在处取得极值。

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意？若存在，求的所有值；若不存在，说明理由。

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在唯一的实数a＝符合题意.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知条件得f¢(x0)=0得到关于x0的关系式，再求出f(x0)；（Ⅱ）将原不等式转化为x2(lnx－a)＋a≥0，考察关于x的函数g(x)＝x2(lnx－a)＋a的单调性，求出最小值g＝a－e2a－1，再研究关于a的函数h(a)＝a－e2a－1，当a取哪些值时h(a)≥0．

试题解析：（Ⅰ）f¢(x)＝．

依题意，lnx0＋x0＋1＝0，则lnx0＝－(x0＋1)．

f(x0)＝＝＝－x0.

（Ⅱ）f(x)≥等价于x2(lnx－a)＋a≥0．

设g(x)＝x2(lnx－a)＋a，则g¢(x)＝x(2lnx－2a＋1)．

令g¢(x)＝0，得x＝．

当x∈时，g¢(x)＜0，g(x)单调递减；

当x∈时，g¢(x)＞0，g(x)单调递增．

所以g(x)≥g＝a－e2a－1．

于是f(x)≥恒成立只需a－e2a－1≥0．

设h(a)＝a－e2a－1，则h＝0，

且h¢(a)＝1－e2a－1，h¢＝0．

当a∈（0，）时，h¢(a)＞0，h(a)单调递增，h(a)＜h＝0；

当a∈（，＋∞）时，h¢(a)＜0，g(x)单调递减，h(a)＜h＝0．

因此，a－e2a－1≤0，当且仅当a＝时取等号．

综上，存在唯一的实数a＝，使得对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥．

考点：导函数的应用