Question

已知函数，曲线在处的切线过点.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）当时，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）f(x)＝lnx＋; （Ⅱ）f(x)的取值范围是[1，ln5＋]．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何含义确定曲线的切线方程的斜率，然后借助切线过点建立等量关系；（Ⅱ）根据函数的定义域，借助求导分析函数的单调性，进而确定函数的最大值和最小值.

试题解析：（Ⅰ）f¢(x)＝－＝．

则f¢(2)＝，f(2)＝ln2＋．

则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线为y＝ (x－2)＋ln2＋，

即y＝x＋m－1＋ln2．                                                                                            3分

依题意，m－1＋ln2＝ln2，所以m＝1．

故f(x)＝lnx＋．                                                                                                                5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)＝lnx＋，f¢(x)＝．

当x∈[，1]时，f¢(x)≤0，f(x)单调递减，此时，f(x)∈[1，2－ln2]；

当x∈[1，5]时，f¢(x)≥0，f(x)单调递增，此时，f(x)∈[1，ln5＋]．        10分

因为(ln5＋)－(2－ln2)＝ln10－＞lne2－＝，

所以ln5＋＞2－ln2．

因此，f(x)的取值范围是[1，ln5＋]．                                                                           12分

考点：1.函数的单调性、极值和最值；2.导数的几何含义.