Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD, ，,AD=AB=1,AC 和 BD 交于O点.

(I)求证：平面PBD丄平面PAC.

(II)当点A在平面PBD内的射影G恰好是ΔPBD的重心时，求二面角B-PD-A的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；(II) .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用条件证明，，即可证平面平面；(II) 过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间坐标系，得各点坐标，设，利用，先求出的值，再分别求面和面的法向量，从而可得结论.

试题解析：（Ⅰ）依题意，，，所以，  2分

而面，，又，∴面，又面，

∴平面平面.    4分

（Ⅱ）

过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立如图所示坐标系，则 ，，,设，所以， ，

由，得

解得，.      6分

∴P点的坐标为；

面的一个法向量为，     8分

设面的一个法向量为，，

即，∴ ，       10分

 ，

所以二面角的余弦值为．     12分

考点：1、面面垂直的判定定理；2、利用空间向量求二面角.