Question

已知函数．

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)设,若在上至少存在一点，使得成立，求的范围．

Answer

(Ⅰ)在，上单调递减，在上单调递增；(Ⅱ )的取值范围为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对求导来判断单调区间；（Ⅱ）在上至少存在一点，使得成立，即不等式在上有解，原不等式整理得：（），转化为求在的最小值问题．

试题解析：（Ⅰ）【解析】
．，解得：在，上单调递减，在上单调递增；

（Ⅱ），在上至少存在一点，使得成立，即：不等式在有解，也即：（）有解，记，则，，令，，，，在单调递增，，即在上恒成立，因此，在上，在上，即在单调递减，在单调递增，，所以，的取值范围为．

方法二：令，则，

即，

①当时，在上为增函数，在上为减函数，由题意可知，，；

②当时，在上为增函数，在，上为减函数，，由题意可知，；

③当时，在上为增函数，在，上为减函数，，由题意可知，，恒成立，此时不合题意．

综上所述，的取值范围为

考点：1、利用导数求单调区间及判断单调性，2、带参数不等式成立问题，3、利用导数求最值，．