Question

已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ) 设点是抛物线上的两点，的角平分线与轴垂直，求的面积最大时直线的方程．

Answer

(Ⅰ)抛物线的方程为；(Ⅱ )所求直线的方程为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线定义可求出；（Ⅱ）由的角平分线与轴垂直，可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数，可设的方程，利用设而不求的方法来求的斜率为，设直线的方程，利用玄长公式与点到直线距离公式得的面积，由面积最大时来确定，从而得直线的方程．

试题解析：（Ⅰ）【解析】
设，因为，由抛物线的定义得，又，所以，

因此，解得，从而抛物线的方程为 ；

（Ⅱ）由（1）知点的坐标为，设，因为的角平分线与轴垂直，所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数，设直线的斜率为，则，由题意，把代入抛物线方程得，该方程的解为4、，由韦达定理得，即，同理，所以，

 设，把代入抛物线方程得，由题意，且，从而，又，所以，点到的距离，因此，设，

则，，由知，所以在上为增函数，因此，即面积的最大值为．的面积取最大值时，所求直线的方程为．

 考点：1、求抛物线方程，2、直线与二次曲线的位置关系，3、利用导数求最值．