Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=_,AD=CD=1.

求证：BD⊥AA₁；

若四边形是菱形，且，求四棱柱的体积.

Answer

详见解析；

【解析】

试题分析：在底面ABCD中，由各边的关系可知再由面面垂直的性质定理可得平面，从而证得BD⊥AA1；由于四棱柱底面各边及对角线CA长度都已知，故其面积容易求得.而易知四棱柱的高即菱形中AC边上的高，由及可得高，所以可得四棱柱体积V=.

试题解析：（Ⅰ）在四边形中，因为，，所以    2分

又平面平面，且平面平面

平面，所以平面                      4分

又因为平面，所以．                       6分

（Ⅱ）过点作于点，∵平面平面 

∴平面

即为四棱柱的一条高          8分

又∵四边形是菱形,且，

∴ 四棱柱的高为               9分

又∵ 四棱柱的底面面积  10分

∴ 四棱柱的体积为            12分

考点：1.面面垂直性质定理；2.棱柱的体积公式；3.解三角形.