Question

如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层， ，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动，若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道．记小弹子落入第层第个竖直通道（从左至右）的概率为，某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第层的第个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题.

（Ⅰ）试求及的值，并猜想的表达式；（不必证明）

（Ⅱ）设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为，其中，试求的分布列及数学期望．

Answer

（Ⅰ） ；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）以实际问题为背景，小弹子落入第层的第个通道的次数服从二项分布；

（Ⅱ）仔细分析，确定随机变量的取值，利用的独立重复事件的概率求出相应的概率，列出的分布列，利用求的公式求解.

试题解析：（Ⅰ）因为小弹子落入第层的第个通道的次数服从二项分布，则：，

                                         3分

 ，

                                           6分

（Ⅱ）依题：． 由（Ⅰ）知，

           9分

所以的分布列如下表：

1

2

3

故 .                         12分

考点：二项分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望.