Question

已知△的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于．

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；

（Ⅱ）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称

点为(不重合) 试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；

当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；

当时  轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；

当时   轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；

（Ⅱ）直线过定点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据，分类讨论参数，轨迹为何种圆锥曲线；（Ⅱ）

一般思路是设点，构造方程，组成方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系，从而得到直线的方程，令求得定点的坐标.

试题解析：（Ⅰ）由题知： 化简得：，     2分

当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；

当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；

当时  轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；

当时   轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；  6分

（Ⅱ）设 

依题直线的斜率存在且不为零，则可设:，

代入整理得

，，                            9分

又因为不重合，则

的方程为 令，

得

故直线过定点.                                    13分

解二：设

依题直线的斜率存在且不为零，可设:

代入整理得：

,，                            9分

的方程为   令，

得

直线过定点                                    13分

考点：圆、椭圆、双曲线的定义、性质，定点问题.