Question

已知函数，其中是常数且.

（1）当时，在区间上单调递增，求的取值范围；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）设是正整数，证明：.

Answer

（1） ；（2）当时， 的减区间为，增区间为；当时， 的减区间为，增区间为；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用导数法，然后才有分离参数的思路进行求解； （2）明确函数的解析式，利用求导法和分类讨论进行求解；（3）用代替中的得到，再证明不等式成立.

试题解析：（1）∵，则，∴，

∵当时，是增函数，∴在时恒成立.      （2分）

即在时恒成立. ∵当时，是减函数，

∴当时，，∴.          （4分）

（2）∵，∴，

∴，                  （5分）

∴当时，由得或，故的减区间为，增区间为.

当时，由得或，故的减区间为，增区间为.                                    （9分）

（3）由（1）知，当，时，在时增函数，

∴，即，∴，

∵，∴，∴，

即，             （12分）

∴

∴.         （14分）

考点：导数法判断函数的单调性,不等式的证明.