Question

已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：

（1）求，的标准方程；

（2）设斜率不为0的动直线与有且只有一个公共点，且与的准线交于，试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（1） ，；（2）存在定点.

【解析】

试题分析：（1）设出标准方程，由点的坐标代入求出基本量即得；（2）巧设直线的方程为，由直线与椭圆相切，求得，利用直线与的准线相交求点的坐标，写出以为直径的圆的方程，利用恒成立求解.

试题解析：（1）设，的标准方程为：，，∵和代入抛物线方程中得到的解相同，∴，      （3分）

又和在椭圆上，把点的坐标代入椭圆方程得，，则，

的标准方程分别为，.        （6分）

（2）设直线的方程为，将其代入消去并化简整理得：

，又直线与椭圆相切，

∴，∴，     （8分）

设切点，则，，

又直线与的准线的交点，

∴以为直径的圆的方程为，      （10分）

化简整理得恒成立，

故，，即存在定点符合题意.       （13分）

考点： 椭圆、抛物线的性质，圆的性质，直线与圆椭圆的关系，定点问题.