Question

已知函数，且在处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）证明：当时，恒有；

（3）证明：若，，且，则.

Answer

（1）.（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据导数的几何意义求方程；（2）构造新函数用导数法求解；

试题解析：（1）∵，∴切线斜率，

∴在处的切线方程为，

即.           （4分）

（2）令，

∵，

∴当时，，时，，∴，

故，即.            （8分）

（3）先求在处的切线方程，由（1）得，

故在处的切线方程为，

即，  （10分）

下面证明，

令，

∵

，

∴时，，时，，∴，

∴，       （12分）

∵，∴，

，

∴.         （14分）

考点：导数法求函数的单调性，导数的几何意义，不等式的证明.