Question

已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．

（1）求抛物线和椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，则

是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

Answer

(1) ,;(2)-1.

【解析】

试题分析：(1)根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系，求解抛物线方程；根据椭圆的焦点和右定点也在圆上，确定椭圆方程；（2）利用已知的向量关系式进行坐标转化求出，然后通过直线与抛物线方程联立，借助韦达定理进行化简并求值.

试题解析：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，，∴抛物线                            3分

同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：．

得椭圆．                                               6分

（2）是定值，且定值为－1．

设直线的方程为，则．

联立方程组，消去得：

且   ,                         9分

由得：

整理得：,

．                14分

考点：1.抛物线和椭圆的方程；（2）直线与抛物线的位置关系；（3）向量的坐标运算.