Question

已知函数的定义域是，是的导函数，且在

内恒成立．

求函数的单调区间；

若，求的取值范围；

(3)  设是的零点，，求证：.

Answer

(1) ;(2) ;(3)详见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用求导的思路求解函数的单调区间，从分借助；（2）首先对求导，然后借助已知的不等式恒成立进行转化为在内恒成立，进而采用构造函数的技巧，，通过求导研究其最大值，从而得到的取值范围；（3）借助第一问结论，得到，然后通过变形和构造的思路去证明不等式成立.

试题解析：（1），∵在内恒成立

∴在内恒成立，

∴的单调区间为                                      4分

（2），∵在内恒成立

∴在内恒成立，即在内恒成立，

设，

，，，，

故函数在内单调递增，在内单调递减，

∴，∴                     8分

（3）∵是的零点，∴由（1），在内单调递增，

∴当时，，即，

∴时，∵，∴，

且即

∴，

∴                                                   14分

考点：1.函数的单调性；（2）导数的应用；（3）不等式的证明.