Question

甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制

成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千

克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A

中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．

（1）证明：是一个常数；

（2）求与的关系式；

（3）求的表达式．

Answer

(1)18;(2) ;(3) .

【解析】

试题分析：(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.

试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而

（常数）．                    4分

（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得   ①           8分

（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．

由①，,

由等比数列的通项公式知：，

所以．                                             12分

考点：1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.