Question

已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．

（1）求抛物线和椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，求的值；

（3）直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，，若点满足，证明：点在椭圆上．

Answer

(1) ,;(2)-1;(3)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系，求解抛物线方程；根据椭圆的焦点和右定点也在圆上，确定椭圆方程；（2）利用已知的向量关系式进行坐标转化求出，然后通过直线与抛物线方程联立，借助韦达定理进行化简并求值;(3)借助向量问题坐标化和点在椭圆上，明确点S的坐标，进而证明其在椭圆上．

试题解析：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，

∴抛物线 .                           2分

同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在

上可解得：．

得椭圆．                                             4分

（2）设直线的方程为，则．

联立方程组，消去得：

且                            5分

由得：

整理得：

．                 8分

（3）设，则

由得；①  ；②

；③                                                 11分

由①+②+③得

∴满足椭圆的方程，命题得证．                13分

考点：1.抛物线和椭圆的方程；（2）直线与抛物线的位置关系；（3）向量的坐标运算.