如图所示，四棱锥
,底面
是边长为
的正方形，
⊥面，
,过点
作
,连接
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若面
交侧棱
于点
，求多面体
的体积.
受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐. 在通常情况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋.某港口水的深度
是时间
，单位：
的函数，记作：
，下表是该港口在某季每天水深的数据：
经过长期观察
的曲线可以近似地看做函数
的图象.
（Ⅰ）根据以上数据，求出函数的近似表达式；
（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为
以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为
，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
已知数列
满足：
，
(Ⅰ) 求证：数列
是等差数列并求的通项公式；
（Ⅱ） 设
，求证：
.
随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视. 从学生体检评价报告单了解到某校3000名学生的体重发育评价情况，得右表：
|
|
偏瘦 |
正常 |
肥胖 |
|
女生（人） |
300 |
865 |
|
|
男生（人） |
|
885 |
|
已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽出多少名？
（Ⅲ）已知
，
，求肥胖学生中男生不少于女生的概率.
如图1，小正方形
的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形
，再把正方形
的各边延长一倍得到正方形
（如图2），如此进行下去，正方形
的面积为
．（用含有
的式子表示，为正整数）
已知
.
（1）求
的极值，并证明：若
有
；
（2）设
，且
，
，证明：
，
若
，由上述结论猜想一个一般性结论（不需要证明）；
（3）证明：若
，则
.
