Question

如图，在几何体中，平面，，是等腰直角三角形，，且，点是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证法一是取的中点，构造四边形，并证明四边形为平行四边形，得到，从而证明平面；证法二是取的中点，构造平面，通过证明平面平面，并利用平面与平面平行的性质来证明平面；（Ⅱ）直接利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：解法一：（Ⅰ）取的中点，连结，

则，且，     2分

又，∴且，所以四边形是平行四边形，

则，                     5分

又因为平面，平面，所以平面．            6分

（Ⅱ）依题得，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，．

设平面的一个法向量为，则即，

取，得，．        10分

又设与平面所成的角为，，

则，

故与平面所成角的正弦值为．             13分

解法二：（Ⅰ）取的中点，连结，

则，

又因为平面，平面，平面，平面，

所以平面，平面，

又，所以平面平面，

平面，∴平面．     6分

（Ⅱ）同解法一．                  13分

考点：直线与平面平行、直线与平面所成的角