Question

已知椭圆的离心率为，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）如图，设直线与椭圆交于两点（其中点在第一象限），且直线与定直线交于点，过作直线交轴于点，试判断直线与椭圆的公共点个数．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）一个.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用、、之间的相互关系与题设条件求出、、的值，从而确定椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据题设条件分别点、、的坐标，进而求出直线的方程，再联立直线和椭圆的标准方程，利用法确定直线与椭圆的公共点个数.

试题解析：（Ⅰ）设，易知，又，得，于是有．

故椭圆的标准方程为．       4分

（Ⅱ）联立得，

的坐标为．故．

依题意可得点的坐标为．设的坐标为，   故．

因为，所以，解得，

于是直线的斜率为，                   8分

从而得直线的方程为：，代入，

得，

即，知，

故直线与椭圆有且仅有一个公共点．                            13分

考点：椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系