Question

某企业有两个生产车间，分别位于边长是的等边三角形的顶点处（如图），现要在边上的点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库．已知叉车每天要往返车间5次，往返车间20次，设叉车每天往返的总路程为.（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）

(Ⅰ）按下列要求确定函数关系式：

①设长为，将表示成的函数关系式；

②设，将表示成的函数关系式.

(Ⅱ）请你选用(Ⅰ）中一个合适的函数关系式，求总路程 的最小值，并指出点的位置．

Answer

（Ⅰ）①；②；

（Ⅱ）当时，总路程最小,最小值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）①是借助余弦定理将用表示出来，然后根据的实际意义利用表示出来，但同时也应注意自变量的取值范围；②借助正弦定理将、的长度用表示出来，然后将利用以为自变量的函数表示出来，并注意自变量的取值范围；（Ⅱ）选择②中的函数解析式，利用导数求极值，从而确定的最小值.

试题解析： (Ⅰ）①在中，，，，

由余弦定理，，

所以．      3分

②在中，，，， 

.

由正弦定理，，

得，，

则．      6分

(Ⅱ）选用(Ⅰ）中的②的函数关系式，，

，

由得，，记，

则当时，，；当时，，；

所以当，时，总路程最小值为，

此时，，

答：当时，总路程最小,最小值为．         13分

考点：正弦定理、余弦定理、函数的极值与最值