Question

已知函数．

(Ⅰ）求函数的单调递增区间；

(Ⅱ）当时，在曲线上是否存在两点，使得曲线在两点处的切线均与直线交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ）若在区间存在最大值，试构造一个函数，使得同时满足以下三个条件：①定义域，且；②当时，；③在中使取得最大值时的值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数即可）

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）存在，且交点纵坐标的取值范围是；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对参数的值影响函数极值点的存在与否进行分类讨论，结合求解导数不等式求相应的单调区间；（Ⅱ）先将曲线在点、处的切线方程求出，并将交点的坐标假设出来，利用交点坐标满足两条切线方程，得到两个不同的等式，然后利用等式的结构进行相应转化为函数的零点个数来处理；（Ⅲ）可以根据题中的条件进行构造，但要注意定义域等相应问题.

试题解析：（Ⅰ）依题可得 ，

当时，恒成立，函数在上单调递增；

当时，由，解得或，

单调递增区间为和．                          4分

（Ⅱ）设切线与直线的公共点为，当时，，

则，因此以点为切点的切线方程为．

因为点在切线上，所以，即．

同理可得方程.                                6分

设，则原问题等价于函数至少有两个不同的零点.

因为，

当或时，，单调递增，当时，，单调递减．

因此，在处取极大值，在处取极小值．

若要满足至少有两个不同的零点，则需满足解得．

故存在，且交点纵坐标的取值范围为．                     10分

(Ⅲ）由(Ⅰ）知，，即．                    11分

本题答案不唯一，以下几个答案供参考：

①，其中；

②其中；

③其中．        14分

考点：函数的单调区间、函数的零点