Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=3，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF平面EFDC，设AD中点为P.

（Ⅰ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF；

（Ⅱ）设BE=x，当x为何值时，三棱锥A－CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）当时，有最大值，最大值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取的中点，连、，证明四边形为平行四边形，再由线面平行定理证明∥平面；（Ⅱ）先求三棱锥A－CDF的体积关于x的表达式，再看体积是否有最大值，并求出此时x的值.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）取的中点，连、，则，

又∥，∴，即四边形为平行四边形，3分

∴∥，又EQ平面，平面ABEF，故∥平面.   6分

（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，

又  ∴平面                                 8分

由已知，所以 

故，             11分

∴当时，有最大值，最大值为.                     12分

考点：1、线面平行的判定定理；2、面面垂直的性质定理；3、线面垂直的判定定理；4、三棱锥体积的求法及二次函数最值求法.