Question

已知函数的导函数是，在处取得极值，且.

（Ⅰ）求的极大值和极小值；

（Ⅱ）记在闭区间上的最大值为，若对任意的总有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设是曲线上的任意一点．当时，求直线OM斜率的最小值，据此判断与的大小关系，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）极大值为，极小值为；（Ⅱ） ；（Ⅲ）直线斜率的最小值为4，．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意，先求m值，设原函数解析式，由，得原函数解析式，再求导函数，列表求极值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在各个区间上的单调性，对分情况讨论，分和两种情况，分别找出这两种情况下函数的最大值，使得成立，从而求出的取值范围；（Ⅲ）当时，求直线OM斜率表达式，得斜率最小值为4，据此判断，，再利用导数的证明当时，函数大于0 恒成立．

试题解析：【解析】
（I）依题意，，解得，              1分

由已知可设，因为，所以，

则，导函数．           3分

列表：

1

（1,3）

3

（3，＋∞）

+

0

-

0

+

↗

极大值4

 ↘

极小值0

↗

由上表可知在处取得极大值为，

在处取得极小值为．               5分

（Ⅱ）①当时，由（I）知在上递增，

所以的最大值，                6分

由对任意的恒成立，得，则，

∵，∴，则，∴的取值范围是．  8分

②当时，因为，所以的最大值，

由对任意的恒成立，得， ∴，

因为，所以，因此的取值范围是，

综上①②可知，的取值范围是．                10分

（Ⅲ）当时，直线斜率，

因为，所以，则，

即直线斜率的最小值为4．             11分

首先，由，得.

其次，当时，有，所以，           13分

证明如下：记，则，

所以在递增，又，

则在恒成立，即，所以 ．      14分

考点：1、导数的运算；2、利用导数求函数的最值及单调性；3、导数与其他函数的综合应用．