Question

已知长方体中，底面为正方形，面，，，点在棱上，且．

（Ⅰ）试在棱上确定一点，使得直线平面，并证明；

（Ⅱ）若动点在底面内，且，请说明点的轨迹，并探求长度的最小值．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在平面内的轨迹是以为圆心，半径等于2的四分之一圆弧，且长度的最小值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先利用证明四边形为平行四边形证明从而证明直线平面，或者可以以平面为已知条件出发，利用直线与平面平行的性质定理得到，进而确定点的位置；（Ⅱ）先确定四边形的形状以及各边的长度，然后再根据以及点为定点这一条件确定点的轨迹，在计算的过程中，可以利用平面以及从而得到平面，于是得到，进而可以由勾股定理，从而将问题转化为当取到最小值时，取到最小值.

试题解析：（Ⅰ）取的四等分点，使得，则有平面. 证明如下：   1分

因为且，

所以四边形为平行四边形，则，   2分

因为平面，平面，所以平面．   4分

（Ⅱ）因为,所以点在平面内的轨迹是以为圆心，半径等于2的四分之一圆弧．      6分

因为，面，所以面，       7分

故．      8分

所以当的长度取最小值时，的长度最小，此时点为线段和四分之一圆弧的交点，      10分

即，

所以．

即长度的最小值为．      12分

考点：直线与平面平行、勾股定理、点到圆上一点距离的最值