已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程； ...

已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点，且椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设：、为椭圆上不同的点，直线的斜率为；是满足（）的点，且直线的斜率为．

①求的值；

②若的坐标为，求实数的取值范围．

（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②实数的取值范围是. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据题中的已知条件以及、、三者之间的关系求出、、的值，从而确定椭圆的方程；（Ⅱ）①解法一是利用斜率公式先将、利用点和的坐标进行表示，然后借助点差法求出的值；解法二是将直线的方程假设出来，借助韦达定理与这一条件确定与之间的关系，进而从相关等式中求出的值；②先确定直线的斜率，然后假设直线的方程为，利用韦达定理确定与之间的等量关系，再利用直线与椭圆有两个不同的公共点结合确定实数的取值范围，进而得到实数的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）依题意，可设椭圆的方程为（）， 1分由，，得，由，可得， 3分故椭圆的方程为． 4分（Ⅱ）解法一：①由、且存在，得， 5分由，且存在，得，则. 6分 ∵，在椭圆上，∴，， 7分两式相减得，， ∴． 8分 ②若的坐标为，则，由①可得. 设直线（），由得， 9分所以. ∵，∴，. 10分又由，解得， 11分 ∴且． 12分解法二：①设直线（），若，则由满足（，），得， ∵直线的斜率存在，∴. 5分由得 (*). 6分 ∵、，∴. 7分 ∵，满足， ∴直线的斜率，经化简得. 9分 ②若的坐标为，则，由①可得. 10分 ∴方程(*)可化为，下同解法一. 考点：椭圆方程、点差法、直线与圆锥曲线的位置关系

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考点分析：

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