定义域为的函数
,其导函数为
.若对
,均有
,则称函数
为
上的梦想函数.
(Ⅰ)已知函数,试判断
是否为其定义域上的梦想函数,并说明理由;
(Ⅱ)已知函数(
,
)为其定义域上的梦想函数,求
的取值范围;
(Ⅲ)已知函数(
,
)为其定义域上的梦想函数,求
的最大整数值.
已知是中心在坐标原点
的椭圆
的一个焦点,且椭圆
的离心率
为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设:、
为椭圆
上不同的点,直线
的斜率为
;
是满足
(
)的点,且直线
的斜率为
.
①求的值;
②若的坐标为
,求实数
的取值范围.
已知长方体中,底面
为正方形,
面
,
,
,点
在棱
上,且
.
(Ⅰ)试在棱上确定一点
,使得直线
平面
,并证明;
(Ⅱ)若动点在底面
内,且
,请说明点
的轨迹,并探求
长度的最小值.
在数列和等比数列
中,
,
,
.
(Ⅰ)求数列及
的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列
的前
项和
.
已知外接圆
的半径为
,且
.
(Ⅰ)求边的长及角
的大小;
(Ⅱ)从圆内随机取一个点
,若点
取自
内的概率恰为
,试判断
的形状.
在某次模块水平测试中,某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学科是否能达到优秀水平的概率都为,记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为
、
、
,未达到优秀水平的事件分别为
、
、
.
(Ⅰ)若将事件 “该同学这三科中恰有两科达到优秀水平” 记为,试求事件
发生的概率;
(Ⅱ)请依据题干信息,仿照(Ⅰ)的叙述,设计一个关于该同学测试成绩情况的事件,使得事件
发生的概率大于
,并说明理由.