Question

定义域为的函数，其导函数为．若对，均有，则称函数为上的梦想函数．

（Ⅰ）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；

（Ⅱ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的取值范围；

（Ⅲ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）的取值范围是；（Ⅲ）的最大整数值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题中“梦想函数”的定义判断函数是否为“梦想函数”；（Ⅱ）根据“梦想函数”的定义结合参数分离法将问题转化型的恒成立问题，等价转化为去处理，但需定义域的开闭对参数的取值范围的影响；（Ⅲ）根据“梦想函数”的定义结合参数分离法转化为恒成立问题处理，在转化的过程中，若两边同时除以，注意对的取值符号分正负以及进行讨论，从而得出参数的取值范围，进而确定的最大整数值.

试题解析：（Ⅰ）函数不是其定义域上的梦想函数．      1分

理由如下：

定义域，，      2分

存在，使，故函数不是其定义域上的梦想函数．  4分

（Ⅱ），，若函数在上为梦想函数，

则在上恒成立，      5分

即在上恒成立，

因为在内的值域为，      7分

所以．      8分

（Ⅲ），由题意在恒成立，

故，即在上恒成立．

①当时，显然成立；     9分

②当时，由可得对任意恒成立.

令，则， 10分

令，

则．

当时，因为，所以在单调递减；

当时，因为，所以在单调递增．

∵，，

∴当时，的值均为负数.

∵，，

∴当时，

有且只有一个零点，且.        11分

∴当时，，所以，可得在单调递减；

当时，，所以，可得在单调递增．

则．    12分

因为，所以，

．    13分

∵在单调递增，，，

∴，

所以，即．

又因为，所以的最大整数值为．    14分

考点：函数与导数、恒成立、参数分离法