Question

已知椭圆的对称中心为坐标原点，上焦点为，离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为轴上的动点，过点作直线与直线垂直，试探究直线与椭圆的位置关系.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先根据题中的已知条件以及、、三者之间的关系求出、、的值，从而确定椭圆的方程；（Ⅱ）先根据直线与直线垂直这一条件确定直线的方程（用点的横坐标表示），然后将直线的方程联立转化成关于或的一元二次方程，对，，三种情况进行分类讨论，并确定相应的的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）由条件可知，，，  3分

所以椭圆的标准方程为.      4分

（Ⅱ），，    6分

则直线：.    7分

联立与

有，   9分

则

，  10分

，，

则当时，，此时直线与椭圆相交；     11分

当时，，此时直线与椭圆相切；    12分

当时，，此时直线与椭圆相离.    13分

考点：椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系