Question

如图，四棱柱中，平面．

（Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为的充分条件，并给予证明；

①，②；③是平行四边形．

（Ⅱ）设四棱柱的所有棱长都为1，且为锐角，求平面与平面所成锐二面角的取值范围．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由平面和可以得到平面，从而可以得到，结合作已知条件，可以证明平面，进而可以得到；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，将题中涉及的关键点用参数表示出来，并将问题中涉及的二面角的余弦值利用参数表示出来，结合函数的方法确定二面角的余弦值的取值范围，进而确定二面角的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）条件②，可做为的充分条件.      1分

证明如下：

平面，，平面，    2分

∵平面，.

若条件②成立，即，∵，平面，     3分

又平面，．   ..4分

（Ⅱ）由已知，得是菱形，.

设，为的中点，则平面，

∴、、交于同一点且两两垂直.    5分

以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．6分

设，，其中，

则，，，，，

，，    7分

设是平面的一个法向量，

由得令，则，，

，      9分

又是平面的一个法向量，    10分

，  11分

令，则，为锐角，

，则，，

因为函数在上单调递减，，

所以，  12分

又，  ，

即平面与平面所成角的取值范围为．  13分

考点：直线与平面垂直、二面角、函数的单调性