Question

已知函数，，且函数在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设点，当时，直线的斜率恒小于，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据函数在点处的切线方程为，这一条件分离出两个条件，然后根据这两个条件列有关和的二元一次方程组，解出和的值进而确定函数的解析式；（Ⅱ）先将直线的斜率利用点的坐标表示，然后建立以为自变量的函数，对参数进行分类讨论，即可求出参数的取值范围；（Ⅲ）证明不等式，构造函数

，等价转化为，借助极小值，但同时需要注意有些时候相应整体的代换.

试题解析：（Ⅰ），.   1分

函数在点处的切线方程为，

  即， 解得，    2分

.      3分

（Ⅱ）由、，得，

∴“当时，直线的斜率恒小于”当时，恒成立对恒成立.    4分

令，.

则，    5分

（ⅰ）当时，由，知恒成立，

∴在单调递增，

∴，不满足题意的要求.    6分

（ⅱ）当时，，，

，

∴当  ，；当，.

即在单调递增；在单调递减.

所以存在使得，不满足题意要求.   7分

（ⅲ）当时，，对于，恒成立，

∴在单调递减，恒有，满足题意要求. 8分

综上所述：当时，直线的斜率恒小于.    9分

（Ⅲ）证明：令，

则， 10分

，

函数在递增，在上的零点最多一个.11分

又，，

存在唯一的使得，    12分

且当时，；当时，.

即当时，；当时，.

在递减，在递增，

从而.     13分

由得且，，

，从而证得.      14分

考点：函数与导数、函数的零点