Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的焦点是椭圆的短轴长，可以求出，再根据离心率及，从而能够求出；（2）设出点坐标，从而写出的方程，根据椭圆的对称性能够表示出的面积，联立直线与椭圆，求出代入到的面积，进一步表示出面积，根据均值不等式能够求出面积的最大值.

试题解析：（1）抛物线的焦点为，∴

又椭圆离心率，∴，

所以椭圆的方程为

（2）设点，则，连交轴于点，

由对称性知：

由     得：

，

（当且仅当即时取等号）

面积的最大值为.

考点：椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系.