Question

已知函数，其图象为曲线,点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当点时，的方程为，求实数和的值；

（Ⅲ）设切线、的斜率分别为、，试问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；（2），；（3）.

【解析】

试题分析：（1）将代入到函数中，求导，解出的的取值范围，从而能够写出函数的单增区间和单减区间；（2）将切点代入到函数表达式中，求出的关系，再将代入到中，求出最终的值；（3）设，写出函数在处的切线，并与曲线联立，得到关于的方程，再设，根据韦达定理表示出，再利用，得出，化简成，则能够得到，进而能够求出的值.

试题解析：（1）当时，

则，解得或；

，解得

∴函数的单调递增区间是和；单调递减区间是.

（Ⅱ）由题意得，即，

解得 

∴实数和的值分别是和. 

（Ⅲ）设，则，

联立方程组

由②代入①整理得 

设，则由韦达定理得，∴

由题意得；

假设存在常数使得，则，

即,∴，解得

所以当时，存在常数使得；

当时，不存在，使得 .          

考点：1.函数的单调区间，2.曲线的切线方程，3.函数存在性问题.