Question

已知椭圆C：的离心率为，

直线：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直

径的圆相切.

 (Ⅰ)求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点.设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得是以GH为底边的等腰三角形. 如果存在，求出实数的取值范围，如果不存在，请说明理由.

Answer

(Ⅰ).

（Ⅱ）存在满足题意的点（m,0）且实数的取值范围为：.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)利用离心率公式，得到，利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，得到，得到，从而得到椭圆C的方程.（Ⅱ）通过假设的方程为（），与椭圆方程联立，应用韦达定理确定交点坐标关系，利用“向量法”得到. 将表示成应用导数或均值定理确定的范围.

试题解析：(Ⅰ)，       2分

∵直线：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，

∴，解得，则a2=4.     4分

故所求椭圆C的方程为.     5分

（Ⅱ）在轴上存在点，使得是以GH为底边的等腰三角形.  6分

理由如下：

设的方程为（），

由

因为直线与椭圆C有两个交点，所以

所以，又因为，所以.

设，，则.   7分

.

              =

.

由于等腰三角形中线与底边互相垂直，则.      8分

所以.

故.

即

因为，所以.所以.

设，当时，，

所以函数在上单调递增，所以

，         10分

 所以    11分

（若学生用基本不等式求解无证明扣1分）

又因为，所以.   所以，.

故存在满足题意的点（m,0）且实数的取值范围为：.     12分

考点：1、椭圆的几何性质，2、直线与椭圆的位置关系，3、平面向量的坐标运算.