Question

已知函数.

（I）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若,对都有成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：（且）.

Answer

（I）当时，单调递增区间为（0，+∞）.当m>0时，单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）. （Ⅱ）实数的取值范围为.（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（I）应用导数研究函数的单调性.遵循“求导数，令导数大（小）于0，解不等式，求单调区间”.

（Ⅱ）将问题转化成“对都有”，

通过求，得到函数在[2,2]上是增函数，

求得=g(2)=2-,利用2-，及得到实数的取值范围为.

（Ⅲ）通过构造函数，利用（I）确定的单调性得到，（当时取“=”号），利用“错位相减法”求得S=

证得（）.

试题解析：（I）          1分

当时，在（0，+∞）单调递增.        2分

当m>0时，由得    

由得

由得>        4分

综上所述：当时，单调递增区间为（0，+∞）.

当m>0时，单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）.      5分

（Ⅱ）若m=, ,对都有成立等价于对都有  6分

由（I）知在[2,2]上的最大值=  7分

函数在[2,2]上是增函数，

=g(2)=2-,     9分

由2-，得，又因为，∴∈

所以实数的取值范围为.      10分

（Ⅲ）证明：令m=，则

由（I）知f(x)在（0,1）单调递增，（1，+∞）单调递减，

，（当x=1时取“=”号）

       11分

<         12分

令S=        ①

2S=  ②

①-②得-S=

S=

（）         14分

考点：1、应用导数研究函数的单调性、2、最值、证明不等式，3、“错位相减法”.