Question

某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：

                                                                

（Ⅰ）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？

（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.

下面的临界值表供参考：

	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（参考公式：，其中）

Answer

（Ⅰ）的分布列为

．

（Ⅱ）列联表：

优秀

非优秀

合计

男

6

1

7

女

1

4

5

合计

7

5

12

有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． 

（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，其所有可能取值为．

计算可得相应概率，得到的分布列为

计算得到数学期望．

（Ⅱ）由乙抽取的样本数据，得到列联表，应用“卡方公式”计算“卡方”并与临界值表对照，得出结论.

（Ⅲ）对照系统抽样、分层抽样的定义．确定抽样方法，由（Ⅱ）的结论，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，得到结论.

试题解析：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人．

X的所有可能取值为．                    1分

所以，，． 4分

故的分布列为

                                                       5分

∴．      6分

（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得列联表如下：

优秀

非优秀

合计

男

6

1

7

女

1

4

5

合计

7

5

12

    7分

的观测值3.841，           9分

 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关．                10分

（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．            11分

由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．          13分

考点：1、随机变量的分布列及数学期望，2、抽样方法， 3、“卡方公式”的应用.