Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，讨论函数在区间上的单调性；

（Ⅲ）证明不等式对任意成立．

Answer

（Ⅰ）．

（Ⅱ）函数在区间单调递减，在区间上单调递增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时， 在区间上单调递增；

从而可得，

得到对任意成立．

通过取，，得，．

将上述n个不等式求和,得到:，

证得对任意成立．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求，切线的斜率，求得切线方程.

（Ⅱ）当时，根据，只要考查的分子的符号．

通过讨论，得时在区间上单调递增；

当时，令求得其根． 利用“表解法”得出结论：函数在区间单调递减，在区间上单调递增．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时， 在区间上单调递增；

从而可得，

得到对任意成立．

通过取，，得，．

将上述n个不等式求和,得到:，

证得对任意成立．

试题解析：．

（Ⅰ）当时，，切线的斜率，

所以切线方程为，即．                   3分

（Ⅱ）当时，因为，所以只要考查的符号．

由，得，

当时，，从而，在区间上单调递增；

当时，由解得．       6分

当变化时，与的变化情况如下表：

函数在区间单调递减，在区间上单调递增．        9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时， 在区间上单调递增；

所以，

即对任意成立．               11分

取，，

得，即，．  13分

将上述n个不等式求和,得到:，

即不等式对任意成立．         14分

考点：1、导数的几何意义，2、应用导数研究函数的单调性、3、证明不等式.