Question

动点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数,记点的轨迹为曲线.

（I）求曲线的方程；

（II）设直线与曲线交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．

Answer

（I）；（II）．

【解析】

试题分析：（I）找出题中的相等关系，列出化简即得曲线的方程；（II）先用弦长公式得，由点到直线距离公式得的高，列出面积表达式，最后选择合适的方法求面积的最大值．

试题解析：（I）设是点到直线的距离,根据题意,点的轨迹就是集合

由此得              

将上式两边平方,并化简得      

即

所以曲线的方程为        

（II）由得，

即.    

记，

则.        

于是

又原点到直线的距离，       

所以（当时取等号）

所以面积的最大值为．      

考点：1、曲线方程求法；2、直线与圆锥曲线位置关系；3、解析几何最值问题．