Question

已知函数

（I）求函数的极值；

（II）对于函数和定义域内的任意实数,若存在常数,使得不等式和都成立,则称直线是函数和的“分界线”．

设函数，，试问函数和是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程．若不存在请说明理由．

Answer

（I）,无极大值；（II）函数和存在“分界线”，方程为．

【解析】

试题分析：（I）首先求函数的定义域，解方程得可能的极值点，进一步得的单调性，最后根据导函数在零点附近的变号情况求的极值；（II）函数和的图象在处有公共点.设函数和存在“分界线”，方程为，由对任意恒成立，确定常数，从而得“分界线”的方程为，再证明在时也恒成立，最后确定函数和的“分界线”就是直线．

试题解析：（I）．    

令得，

所以在上单调递减，上单调递增，      

又，   

所以,无极大值.  

（II）由（I）知，

所以函数和的图象在处有公共点.  

设函数和存在“分界线”，方程为，

应有对任意恒成立，即在时恒成立，

于是，得，

则“分界线”的方程为．        

记，则

令得，所以在上单调递增，上单调递减，

当时，函数取得最大值，即在时恒成立.  

综上所述，函数和存在“分界线”，方程为  ……

考点：1、应用导数求函数极值（最值）；2、应用导数研究函数的性质．