Question

已知椭圆的焦点在轴上，离心率，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆相交于两点，求证：直线与的倾斜角互补.

Answer

（1） 见证明.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）椭圆有两个独立量，所以需要建立两个方程①利用离心率 ②利用点 在圆上,然后解方程即可，（Ⅱ）建立直线方程后与椭圆方程联立利用韦达定理求出两根之和 两根之积, ,再把两条直线的斜率之和用, 来表示,整理即可.

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，（）

由，得                           2分

∵ 椭圆经过点，则，解得                       3分

∴ 椭圆的方程为                                      4分

（Ⅱ）设直线方程为.

由联立得：

令，得

                                       6分

                                                                   10分

                               11分

，所以，直线与的倾斜角互补．                     12分

考点：椭圆及其性质,直线与圆锥曲线的关系运算.